Kesirli Operatörlerin Bazı Yeni Versiyonlarını İçeren İntegral Eşitsizlikler

Abstract

Bu tezin amacı, literatürde iyi bilinen Minkowski, Grüss, Chebyshev, HermiteHadamard eşitsizlikleri için farklı tipte kesirli integral ve türev operatörleri yardımıyla yeni sonuçları sunmak ve literatürle uyumunu göstermektir. Dört bölüm olarak hazırlanan bu tezin, birinci bölümü olan giriş bölümünde kesirli analiz ve eşitsizlik teorisi ile ilgili, kronolojik süreci de içinde barındıran genel bilgilerin bir derlemesi sunulmuştur. İkinci bölümde, ilk olarak tezde kullanılan konveks fonksiyon tanımları ve özellikleri, Beta, Gama ve senkronize fonksiyonu gibi bazı özel fonksiyonlar, Minkowski eşitsizliği, Grüss eşitsizliği, Chebyshev eşitsizliği, Hermite-Hadamard eşitsizliği, Milne eşitsizliği ve bazı önemli eşitsizlikler verilmiştir. Ardından, kesirli integral ile kesirli türev tanımları, aralarındaki ilişkiler ve daha önce elde edilen sonuçlara yer verilmiştir. Üçüncü bölüm olan bulgular kısmında, ilk olarak sabit orantılı kesirli integral operatörü yardımıyla sırasıyla Minkowski, Grüss ve Chebyshev eşitsizlikleri ile ilgili yeni sonuçlar elde edilmiştir. Daha sonra, sabit orantılı Caputo-hibrit operatörünü içeren 𝑠-konveks fonksiyonlar için HermiteHadamard tipli eşitsizlikler elde edilmiştir. Elde edilen sonuçların, bazı özel koşullar altında, literatürde var olan sonuçlara indirgendiği gözlenmiştir. Daha sonra, yeni uyumlu kesirli integral operatörlerini kullanarak diferansiyellenebilir konveks fonksiyonlar için Milne tipli yeni özdeşlik ve eşitsizlikler elde edilmiştir. Ayrıca elde edilen bu eşitsizliklerde özel fonksiyon seçilip uygun değerler altında simülasyonları elde edilmiş ve bu simülasyonlar yardımıyla eşitsizliklerin sol ve sağ taraflarının karşılaştırması yapılmıştır. Dördüncü bölüm olan tartışma ve sonuç kısmında, tezde elde edilen bulgular özetlenmiş ve sonraki çalışmalar için bazı öneriler verilmiştir.

The aim of this thesis is to present new results for inequalities such as Minkowski, Grüss, Chebyshev, Hermite-Hadamard inequalities, which are well known in the literature with the help of different types of fractional integral and derivative operators, and to show their consistency with the literature. In the introduction, which is the first part of this thesis that is prepared in four parts, a compilation of general information about fractional analysis and inequality theory, including the chronological process, is presented. In the second chapter, the definitions and properties of convex functions, some special functions such as Beta, Gamma and synchronized function, Minkowski inequality, Grüss inequality, Chebyshev inequality, Hermite-Hadamard inequality, Milne inequality and some important inequalities are given. Then, the definitions of fractional integral and fractional derivative, the relations between them and the results obtained previously are given. In the third part, the results section, firstly new results for the Minkowski, Grüss and Chebyshev inequalities are obtained respectivetly by using the constant proportional fractional integral operator. Then, Hermite-Hadamard type inequalities are obtained for 𝑠-convex functions involving the constant proportional Caputo-hybrid operator. Under some special conditions, it is observed that the obtained results reduce to the results existing in the literature. Then, new identities and inequalities of Milne type for differentiable convex functions are obtained by using new conformable fractional integral operators. In addition, the simulations of these inequalities were obtained under appropriate values by selecting the special function and with the help of these simulations the left and right sides of the inequalities were compared. In the fourth chapter, discussion and conclusion, the findings that obtained in the thesis are summarized and some suggestions for the future studies are given.