Bu tezin amacı, literatürde iyi bilinen Minkowski, Grüss, Chebyshev, HermiteHadamard eşitsizlikleri için farklı tipte kesirli integral ve türev operatörleri yardımıyla
yeni sonuçları sunmak ve literatürle uyumunu göstermektir.
Dört bölüm olarak hazırlanan bu tezin, birinci bölümü olan giriş bölümünde
kesirli analiz ve eşitsizlik teorisi ile ilgili, kronolojik süreci de içinde barındıran genel
bilgilerin bir derlemesi sunulmuştur. İkinci bölümde, ilk olarak tezde kullanılan
konveks fonksiyon tanımları ve özellikleri, Beta, Gama ve senkronize fonksiyonu gibi
bazı özel fonksiyonlar, Minkowski eşitsizliği, Grüss eşitsizliği, Chebyshev eşitsizliği,
Hermite-Hadamard eşitsizliği, Milne eşitsizliği ve bazı önemli eşitsizlikler verilmiştir.
Ardından, kesirli integral ile kesirli türev tanımları, aralarındaki ilişkiler ve daha önce
elde edilen sonuçlara yer verilmiştir. Üçüncü bölüm olan bulgular kısmında, ilk olarak
sabit orantılı kesirli integral operatörü yardımıyla sırasıyla Minkowski, Grüss ve
Chebyshev eşitsizlikleri ile ilgili yeni sonuçlar elde edilmiştir. Daha sonra, sabit
orantılı Caputo-hibrit operatörünü içeren 𝑠-konveks fonksiyonlar için HermiteHadamard tipli eşitsizlikler elde edilmiştir. Elde edilen sonuçların, bazı özel koşullar
altında, literatürde var olan sonuçlara indirgendiği gözlenmiştir. Daha sonra, yeni
uyumlu kesirli integral operatörlerini kullanarak diferansiyellenebilir konveks
fonksiyonlar için Milne tipli yeni özdeşlik ve eşitsizlikler elde edilmiştir. Ayrıca elde
edilen bu eşitsizliklerde özel fonksiyon seçilip uygun değerler altında simülasyonları
elde edilmiş ve bu simülasyonlar yardımıyla eşitsizliklerin sol ve sağ taraflarının
karşılaştırması yapılmıştır. Dördüncü bölüm olan tartışma ve sonuç kısmında, tezde
elde edilen bulgular özetlenmiş ve sonraki çalışmalar için bazı öneriler verilmiştir.
The aim of this thesis is to present new results for inequalities such as
Minkowski, Grüss, Chebyshev, Hermite-Hadamard inequalities, which are well
known in the literature with the help of different types of fractional integral and
derivative operators, and to show their consistency with the literature.
In the introduction, which is the first part of this thesis that is prepared in four
parts, a compilation of general information about fractional analysis and inequality
theory, including the chronological process, is presented. In the second chapter, the
definitions and properties of convex functions, some special functions such as Beta,
Gamma and synchronized function, Minkowski inequality, Grüss inequality,
Chebyshev inequality, Hermite-Hadamard inequality, Milne inequality and some
important inequalities are given. Then, the definitions of fractional integral and
fractional derivative, the relations between them and the results obtained previously
are given. In the third part, the results section, firstly new results for the Minkowski,
Grüss and Chebyshev inequalities are obtained respectivetly by using the constant
proportional fractional integral operator. Then, Hermite-Hadamard type inequalities
are obtained for 𝑠-convex functions involving the constant proportional Caputo-hybrid
operator. Under some special conditions, it is observed that the obtained results reduce
to the results existing in the literature. Then, new identities and inequalities of Milne
type for differentiable convex functions are obtained by using new conformable
fractional integral operators. In addition, the simulations of these inequalities were
obtained under appropriate values by selecting the special function and with the help
of these simulations the left and right sides of the inequalities were compared. In the
fourth chapter, discussion and conclusion, the findings that obtained in the thesis are
summarized and some suggestions for the future studies are given.
