Eşitsizlikler teorisi, matematiğin önemli çalışma alanlarından biridir. Özellikle son 150 yıllık
süreçte hem cebirsel olarak hem de klasik Riemann integrali yardımıyla, bir çok matematikçi
kendi isimleri ile anılan eşitsizlikler ortaya koymuştur. Günümüzde kesirli integrallerin bu
alanda kullanılmaya başlanması ve bir çok özel fonksiyonun tanımlanması sonucunda
literatürde klasik Riemann integrali ile yapılan çalışmaların genelleştirmeleri ve yeni
biçimleri elde edilmiştir. Bu çalışmada klasik integraller ve Riemann-Liouville kesirli
integralleri yardımıyla elde edilen bir çok eşitsizlik uyumlu kesirli ve Katugampola kesirli
integraller yardımıyla genelleştirilmiştir.
Dört ana bölümden oluşan bu tezde, ilk bölümde konvekslik, eşitsizlikler ve kesirli
integrallerin tarihsel gelişimi hakkında bilgi verilmiştir.
İkinci bölüm ise bu çalışmada kullanılan temel kavramlar, özel fonksiyonlar, fonksiyon
uzayları, konveks fonksiyonların özellikleri ve önemli eşitsizlikler ile ilgili bilgiler
içermektedir.
Üçüncü bölümde Riemann-Liouville kesirli integralleri, uyumlu kesirli integraller ve
Katugampola kesirli integraller ile ilgili temel bilgiler ve özellikler verilmiştir. Yine bu
bölümde literatürdeki diğer kesirli integraller kısaca tanıtılmıştır. Ayrıca, Riemann-Liouville
kesirli integralleri yardımıyla literatürde bulunan bazı sonuçlar da bu bölümde
bulunmaktadır.
Dördüncü bölümde, ilk olarak, uyumlu kesirli integraller yardımıyla Hermite-Hadamard,
Hermite-Hadamard-Fejer, Ostrowski, Chebyshev ve Grüss eşitsizlikleri ile ilgili yeni
sonuçlar elde edilmiştir. Daha sonra, Katugampola kesirli integralleri yardımıyla HermiteHadamard ve Chebyshev eşitsizlikleri ile ilgili üçüncü bölümde verilen sonuçların yeni
genelleştirmeleri verilmiştir. Ayrıca uyumlu kesirli ve Katugampola kesirli integraller için
yeni sonuçlar elde edilmiştir.
Son bölümde bazı sonuç ve önerilerden bahsedilmiştir.
Inequality theory is one of the major areas of study of mathematics. Especially in the last 150
years, with the help of both the algebraic and the classical Riemann integral, many
mathematicians have revealed the inequalities which are known by their names. Nowadays,
as a result of the introduction of fractional integrals in this field and the definition of many
special functions, generalizations and new forms of studies with classical Riemann integral
are presented in the literature. In this study, many inequalities obtained by using classical
integrals and Riemnn-Liouville fractional integrals are generalized with conformable
fractional and Katugampola fractional integrals.
In the thesis, which consists of four main sections, the first chapter provides basic
information about the concept of convexity, inequalities and historical developments on
fractional integrals.
In the second chapter, basic concepts, special functions, function spaces, properties of
convex functions and important inequalities are given.
The basic information and features related to Riemann-Liouville fractional integrals,
comformable fractional integrals and Katugampola fractional integrals are given in the third
chapter. Again, this section briefly introduces other fractional integrals in the literature. On
the other hand, some results existing in the literature with the help of Riemann-Liouville
fractional integrals are introduced in this chapter.
In the fourth chapter, firstly, new results about Hermite-Hadamard, Hermite-HadamardFejer, Ostrowski, Chebyshev and Grüss inequalities are obtained with the help of
conformable fractional integrals. Then, with the help of Katugampola fractional integrals,
new generalizations of the results, which are given in the third chapter, related to HermiteHadamard and Chebyshev inequalities are presented. In addition, new results are obtained
for conformable fractional and Katugampola fractional integrals.
In the last chapter, some results and recommendations are given.
