Öklid Uzayında Özel Eğrilerin Karakterizasyonları

Abstract

Bu tez dört bölüm halinde düzenlenmiştir. Giriş bölümünde çalışmanın amacı ve konunun ele alınma nedeni ifade edildi. Önceki Çalışmalar bölümünde, Öklid uzayında biharmonik eğrilerin sınıflandırılması ve diferensiyel denklemlerinin yazılması ile ilgili çalışmalara yer verildi. Genel Bilgiler bölümünde, tezde kullanılacak bazı tanım ve teoremler açıklandı. Araştırma Bulguları bölümü, çalışmanın özgün kısmını oluşturmaktadır. Burada Öklid uzayında keyfi parametreyle verilen bir eğrinin diferensiyel denklemleri eğrinin teğet vektörüne ve Darboux vektörüne göre yazıldı. Eğrinin harmoniklik koşulları ise sırasıyla Laplace operatörüne göre (biharmonik veya 1. tipten harmonik) ve normal Laplace operatörüne göre (zayıf biharmonik veya 1. tipten harmonik) verildi. Sonra bu eğrinin bir involütü tanımlanarak, involüt eğrisinin diferensiyel denklemleri ve harmoniklik şartları involüt eğrisinin parametresine göre yazıldı. Daha sonra evolüt involüt eğrilerinin Frenet çatıları arasındaki geçiş matrisleri kullanılarak, involüt eğrisine ait yazılan denklemler ve harmoniklik koşulları esas eğrinin Frenet aparatları türünden ifade edildi. Benzer şekilde esas eğrinin bir Bertrand eğrisi olması halinde, bu eğrinin bir Bertrand partneri tanımlandı ve partner eğrisinin karakterizasyonları, involüt eğrisinde olduğu gibi esas eğrinin Frenet aparatları türünden yazıldı. Son olarak yazılan teoremlere ait sonuçlar verildi ve sayısal bir örnekle bu bölümdeki iddialar desteklendi.

This thesis consists of four fundamental chapters. In the Opening chapter, the purpose of the study and the reason for addressing the subject are revealed. Previous Studies section makes up of studies on classifications of biharmonic curves in Euclidean space and writing of differential equations. In the General Informations chapter, some definitions and theorems to be used in the research findings section are discussed. Research Findings chapter constitutes the unique part of the present study. In this part, differential equations of a Frenet curve with arbitrary parameter are written first with respect to tangent vector and the Darboux vector of the given curve. Then the harmonicity conditions of the curve, that is, biharmonic or 1-type of harmonic with regard to Laplace operator and weak biharmonic or 1-type of harmonic according to normal Laplace operator are computed. Next, applying the properties of connected curves we define an involute of the given curve. By using the parameters of involute curve we first give all characterizations of involute curve itself. It follows that the differential equations and harmonicity conditions of the involute curve are expressed in terms of the Frenet apparatus of the main curve. Naturally we drive new conclusions. By the same manner, we suppose the main curve as a Bertrand curve and after writing the Bertrand partner curve, we give all characterizations of the Bertrand partner curve as in the case of involute curve. We complete the study with developing new corollaries and designating an example to strengthen our assertions.