Bu tez dört bölüm halinde düzenlenmiştir. Giriş bölümünde çalışmanın amacı
ve konunun ele alınma nedeni ifade edildi. Önceki Çalışmalar bölümünde, Öklid
uzayında biharmonik eğrilerin sınıflandırılması ve diferensiyel denklemlerinin
yazılması ile ilgili çalışmalara yer verildi. Genel Bilgiler bölümünde, tezde
kullanılacak bazı tanım ve teoremler açıklandı.
Araştırma Bulguları bölümü, çalışmanın özgün kısmını oluşturmaktadır.
Burada Öklid uzayında keyfi parametreyle verilen bir eğrinin diferensiyel
denklemleri eğrinin teğet vektörüne ve Darboux vektörüne göre yazıldı. Eğrinin
harmoniklik koşulları ise sırasıyla Laplace operatörüne göre (biharmonik veya 1.
tipten harmonik) ve normal Laplace operatörüne göre (zayıf biharmonik veya 1.
tipten harmonik) verildi. Sonra bu eğrinin bir involütü tanımlanarak, involüt eğrisinin
diferensiyel denklemleri ve harmoniklik şartları involüt eğrisinin parametresine göre
yazıldı. Daha sonra evolüt involüt eğrilerinin Frenet çatıları arasındaki geçiş
matrisleri kullanılarak, involüt eğrisine ait yazılan denklemler ve harmoniklik
koşulları esas eğrinin Frenet aparatları türünden ifade edildi. Benzer şekilde esas
eğrinin bir Bertrand eğrisi olması halinde, bu eğrinin bir Bertrand partneri tanımlandı
ve partner eğrisinin karakterizasyonları, involüt eğrisinde olduğu gibi esas eğrinin
Frenet aparatları türünden yazıldı. Son olarak yazılan teoremlere ait sonuçlar verildi
ve sayısal bir örnekle bu bölümdeki iddialar desteklendi.
This thesis consists of four fundamental chapters. In the Opening chapter, the
purpose of the study and the reason for addressing the subject are revealed. Previous
Studies section makes up of studies on classifications of biharmonic curves in
Euclidean space and writing of differential equations. In the General Informations
chapter, some definitions and theorems to be used in the research findings section are
discussed.
Research Findings chapter constitutes the unique part of the present study. In
this part, differential equations of a Frenet curve with arbitrary parameter are written
first with respect to tangent vector and the Darboux vector of the given curve. Then
the harmonicity conditions of the curve, that is, biharmonic or 1-type of harmonic
with regard to Laplace operator and weak biharmonic or 1-type of harmonic
according to normal Laplace operator are computed. Next, applying the properties of
connected curves we define an involute of the given curve. By using the parameters
of involute curve we first give all characterizations of involute curve itself. It follows
that the differential equations and harmonicity conditions of the involute curve are
expressed in terms of the Frenet apparatus of the main curve. Naturally we drive new
conclusions. By the same manner, we suppose the main curve as a Bertrand curve
and after writing the Bertrand partner curve, we give all characterizations of the
Bertrand partner curve as in the case of involute curve. We complete the study with
developing new corollaries and designating an example to strengthen our assertions.
