Matematiğin önemli kavramlarından olan türev ve integralin, bilinen tam sayı mertebelerinin yanında kesirli mertebelerinin de hesaplanmasına olanak sağlayan kesirli türev ve integral operatörlerin matematikçiler tarafından tanımlanması; özellikle eşitsizlik teorisinde bir çok yeni sonucun elde edilmesini sağlamış ve elde edilen bu sonuçların kullanılmasıyla çok sayıda problem çözülmüştür. Dört ana bölümden oluşan bu tezde genel olarak, Atangana-Baleanu kesirli integral operatörleri yardımıyla yeni sonuçların elde edilmesi amaçlanmıştır. Bu tezin ilk bölümü olan giriş bölümünde; matematik ile fonksiyon kavramı hakkında kısa bir açıklamaya ve matematiğin alt alanları olan eşitsizlik teorisi ile kesirli analizin tarihi gelişim sürecine yer verilmiştir. Tezde yeni sonuçların elde edilmesi için bir materyal ve literatür taraması görevi üstlenen “Genel Bilgiler” başlıklı ikinci bölümde ise, “Bazı Fonksiyonlar ve Fonksiyon Uzayları”, “Önemli Eşitsizlikler”, “Kesirli Türev ve İntegral Operatörler” alt başlıklarıyla ilgili tanım, teorem, açıklamalar ve daha önce elde edilen sonuçlar verilmiştir. Araştırma bulgularının verildiği üçüncü bölüm dört alt bölümden oluşmaktadır. Atangana-Baleanu kesirli integral operatörleri yardımıyla bu alt bölümlerin birinci ve ikincisinde; fonksiyonların birinci ve ikinci türevleri için, üçüncüsünde; pre-inveks fonksiyonlar için, dördüncüsünde; senkronize fonksiyonlar için yeni integral eşitlikler ve eşitsizlikler elde edilmiştir. Ayrıca bu bölümde, elde edilen sonuçların bazılarının daha önce literatürde var olan sonuçlara indirgendiği ve elde edilen sonuçlardaki parametrelerin bazılarının özel değerleri için yeni sonuçlar elde edildiği görülmüştür. Araştırma bulguları bölümünün birinci alt bölümde ayrıca Riemann-Liouville kesirli integral operatörü ile Atangana-Baleanu kesirli integral operatörünün; farklı fonksiyonlar ve parametrelerin farklı değerlerine karşılık simülasyonları elde edilmiş ve bu simülasyonlar yardımıyla bu iki operatörün karşılaştırılması yapılmıştır. “Tartışma ve Sonuç” bu tezin dördüncü bölümünü oluşturmakta olup bu bölümde tezde elde edilen araştırma bulgularından bahsedilerek yeni öneriler sunulmuştur.
The definition of fractional derivative and integral operators by mathematicians, which allow the calculation of fractional orders as well as known integer orders of derivative and integral which are important concepts of mathematics, provided to obtained many new results, especially in the theory of inequality and many problems have been solved by using these results. In this thesis, which consists of four main chapters, it is generally aimed to obtain new results with the help of Atangana-Baleanu fractional integral operators. In the introduction which is first chapter of this thesis, a brief explanation about mathematics and the concept of function and the historical development process of inequality theory and fractional analysis, which are subfields of mathematics, are given. In the second chapter titled “General Information”, which serves as a material and literature review for obtaining new results in the thesis, definitions, theorems, explanations and previous results related to the subheadings “Some Functions and Function Spaces”, “Important Inequalities”, “Fractional Derivative and Integral Operators” are given. The third section, where the research findings are presented, consists of four subsections. With the help of Atangana-Baleanu fractional integral operators, new integral equations and inequalities are obtained for the first and second derivatives of functions in the first and second of these subsections, for pre-invex functions in the third and for synchronous functions in the fourth. In addition, in this section, it has been observed that some of the results obtained have been reduced to the results already existing in the literature and new results have been obtained for special values of some of the parameters in the obtained results. In the first subsection of the research findings section, also, simulations of the Riemann-Liouville fractional integral operator and the Atangana-Baleanu fractional integral operator for different functions and different values of the parameters are obtained and a comparison of these two operators is made with the help of these simulations. “Discussion and Conclusion” constitutes the fourth chapter of this thesis and in this chapter, the research findings obtained in the thesis are mentioned and new suggestions are presented.
