Eşitsizlikler teorisi matematik, fizik ve mühendislik gibi bilim dallarında önemli yere sahiptir.
Birçok araştırmacının ilgi alanına giren Hermite-Hadamard eşitsizliği ile ilgili gerek klasik
gerekse kesirli integraller yardımıyla sayısız çalışma ve tezler yayımlanmıştır. Birkaç farklı
kesirli integral operatörü yardımıyla konveks fonksiyonların bazı sınıfları için HermiteHadamard
tipli yeni eşitsizliklerin elde edildiği bu tez altı bölümden meydana gelmektedir. İlk
bölüm giriş için ayrılmış olup eşitsizlik ve kesirli integraller ile ilgili, tarihsel süreci de içine
katarak genel bilgilerin bir derlemesi niteliğinde verilmiştir. İkinci bölüm, araştırmamızda
kullanılan temel kavramlar, Beta ve Gama gibi bazı özel fonksiyonlar, konveks fonksiyon
sınıflarından birkaçının tanım ve özellikleri, ayrıca teorem ispatlarında kullanılacak olan
birkaç eşitsizlik çeşidi ile ilgili bilgileri içermektedir. Üçüncü bölümde Riemann-Liouville
kesirli integralleri, uyumlu kesirli integraller, genelleştirilmiş kesirli integraller ve
genelleştirilmiş k-kesirli integrallerin tanım ve özelliklerine yer verilmiştir. Ayrıca üçüncü
bölümde özellikle Riemann-Liouville kesirli integralleri yardımıyla literatürde bulunan ve bu
çalışmada daha genel halleri elde edilen bazı lemmalar ile bu lemmalar yardımıyla elde edilen
sonuçlar bulunmaktadır. Dördüncü bölümde uyumlu kesirli integraller, genelleştirilmiş kesirli
integraller ve genelleştirilmiş k-kesirli integraller yardımıyla bazı konveks fonksiyon sınıfları
için Hermite-Hadamard eşitsizliğinin bir genelleştirmesi elde edilmiştir. Ayrıca bu integral
operatörlerini içeren yeni özdeşlikler ve bu özdeşliklerle beraber, bilinen bazı eşitsizlikleri
kullanarak Hermite-Hadamard tipli yeni sonuçlar elde edilmiştir. Araştırmada elde edilen
sonuçların, bazı özel koşullar altında, literatürde var olan, klasik integraller ve RiemannLiouville
kesirli integralleri yardımıyla elde edilen birtakım sonuçların bir genişlemesi ve
genelleştirmesi olduğu gözlenmiştir. Son olarak, tezin beşinci bölümü sonuç ve öneriler,
altıncı bölümü ise tezde kullanılan kaynaklara ayrılmıştır.,
The theory of inequalities has an important role in science such as mathematics, physics and
engineering. Numerous studies and theses have been published about Hermite-Hadamard
inequality, which is of interest to many researchers, with the help of classical or fractional
integrals. This thesis, in which new inequalities of the Hermite-Hadamard type are obtained
for some classes of convex functions with the aid of a few different fractional integral
operators, comes in six parts. The first part is devoted to input and is given as a compilation
of general information about inequality and fractional integrals, including historical process.
The second part contains the basic concepts used in our research, some special functions such
as Beta and Gamma, the definitions and properties of several of the classes of convex
functions, as well as information on a few types of inequality that will be used in theorem
proofs. In the third chapter, Riemann-Liouville fractional integrals, conformable fractional
integrals, generalized fractional integrals and generalized k-fractional integrals are introduced.
In addition, in the third part, there are some lemmas which are found in the literature with the
help of Riemann-Liouville fractional integrals and which are obtained more general conditions
in this study, and the results obtained with the help of these lemmas. In the fourth chapter, a
generalization of the Hermite-Hadamard inequality for some convex function classes has been
obtained by using conformable fractional integrals, generalized fractional integrals and
generalized k-fractional integrals. In addition, new identities including these integral operators
and new results of Hermite-Hadamard type are obtained by using some known inequalities
together with these identities. It has been observed that the results obtained in the research are
an extension and generalization of some of the results obtained with the help of classical
integrals and Riemann-Liouville fractional integrals which exist in the literature under certain
special circumstances. Finally, the fifth part of the thesis deals with the conclusion and the
proposal, the sixth chapter is for the resources used in the thesis.
