Uyumlu Kesirli ve Katugampola Kesirli İntegraller İçeren Eşitsizlikler

Abstract

Eşitsizlikler teorisi, matematiğin önemli çalışma alanlarından biridir. Özellikle son 150 yıllık süreçte hem cebirsel olarak hem de klasik Riemann integrali yardımıyla, bir çok matematikçi kendi isimleri ile anılan eşitsizlikler ortaya koymuştur. Günümüzde kesirli integrallerin bu alanda kullanılmaya başlanması ve bir çok özel fonksiyonun tanımlanması sonucunda literatürde klasik Riemann integrali ile yapılan çalışmaların genelleştirmeleri ve yeni biçimleri elde edilmiştir. Bu çalışmada klasik integraller ve Riemann-Liouville kesirli integralleri yardımıyla elde edilen bir çok eşitsizlik uyumlu kesirli ve Katugampola kesirli integraller yardımıyla genelleştirilmiştir. Dört ana bölümden oluşan bu tezde, ilk bölümde konvekslik, eşitsizlikler ve kesirli integrallerin tarihsel gelişimi hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölüm ise bu çalışmada kullanılan temel kavramlar, özel fonksiyonlar, fonksiyon uzayları, konveks fonksiyonların özellikleri ve önemli eşitsizlikler ile ilgili bilgiler içermektedir. Üçüncü bölümde Riemann-Liouville kesirli integralleri, uyumlu kesirli integraller ve Katugampola kesirli integraller ile ilgili temel bilgiler ve özellikler verilmiştir. Yine bu bölümde literatürdeki diğer kesirli integraller kısaca tanıtılmıştır. Ayrıca, Riemann-Liouville kesirli integralleri yardımıyla literatürde bulunan bazı sonuçlar da bu bölümde bulunmaktadır. Dördüncü bölümde, ilk olarak, uyumlu kesirli integraller yardımıyla Hermite-Hadamard, Hermite-Hadamard-Fejer, Ostrowski, Chebyshev ve Grüss eşitsizlikleri ile ilgili yeni sonuçlar elde edilmiştir. Daha sonra, Katugampola kesirli integralleri yardımıyla HermiteHadamard ve Chebyshev eşitsizlikleri ile ilgili üçüncü bölümde verilen sonuçların yeni genelleştirmeleri verilmiştir. Ayrıca uyumlu kesirli ve Katugampola kesirli integraller için yeni sonuçlar elde edilmiştir. Son bölümde bazı sonuç ve önerilerden bahsedilmiştir.

Inequality theory is one of the major areas of study of mathematics. Especially in the last 150 years, with the help of both the algebraic and the classical Riemann integral, many mathematicians have revealed the inequalities which are known by their names. Nowadays, as a result of the introduction of fractional integrals in this field and the definition of many special functions, generalizations and new forms of studies with classical Riemann integral are presented in the literature. In this study, many inequalities obtained by using classical integrals and Riemnn-Liouville fractional integrals are generalized with conformable fractional and Katugampola fractional integrals. In the thesis, which consists of four main sections, the first chapter provides basic information about the concept of convexity, inequalities and historical developments on fractional integrals. In the second chapter, basic concepts, special functions, function spaces, properties of convex functions and important inequalities are given. The basic information and features related to Riemann-Liouville fractional integrals, comformable fractional integrals and Katugampola fractional integrals are given in the third chapter. Again, this section briefly introduces other fractional integrals in the literature. On the other hand, some results existing in the literature with the help of Riemann-Liouville fractional integrals are introduced in this chapter. In the fourth chapter, firstly, new results about Hermite-Hadamard, Hermite-HadamardFejer, Ostrowski, Chebyshev and Grüss inequalities are obtained with the help of conformable fractional integrals. Then, with the help of Katugampola fractional integrals, new generalizations of the results, which are given in the third chapter, related to HermiteHadamard and Chebyshev inequalities are presented. In addition, new results are obtained for conformable fractional and Katugampola fractional integrals. In the last chapter, some results and recommendations are given.